Matematyka · E8 2027

Karta wzorów na E8 z matematyki

Wszystkie wzory i reguły z podstawy programowej, przy każdym rysunek. Możesz ją też wydrukować na A4.

Na tej stronie

Wszystkie wzory na egzamin w jednym miejscu

Na egzaminie nie dostaniesz karty wzorów ani kalkulatora, więc te wzory musisz znać. Masz tu wszystkie, których wymaga podstawa programowa.

Kartka z wzorami i rysunkami figur: trapez, koło i trójkąt prostokątny.

Liczby i ułamki. Kolejność działań, ułamki, podzielność, NWD i NWW, liczby rzymskie.
Potęgi i pierwiastki. Prawa działań na potęgach, notacja wykładnicza i pierwiastki.
Procenty i proporcje. Procent liczby, część i całość, podwyżki i obniżki, proporcja.
Wyrażenia i równania. Nawiasy, wyrazy podobne, równania i przekształcanie wzorów.
Kąty i figury. Kąty, czworokąty, trójkąty, przystawanie i twierdzenie Pitagorasa.
Pola i obwody. Pola i obwody wielokątów, koło, okrąg i cięciwa.
Bryły. Sześcian, prostopadłościan, graniastosłup i ostrosłup.
Współrzędne i oś. Punkt, środek i długość odcinka, odstępy i zbiory liczb na osi.
Jednostki i czas. Droga i prędkość, czas i kalendarz, jednostki i skala.
Dane i losowość. Średnia arytmetyczna, diagram kołowy i prawdopodobieństwo.

Podstawa programowa z 2024 r., obowiązuje na E8 do 2030 r. · 62 wzory i reguły · Zobacz źródła

Arytmetyka

Liczby, ułamki i podzielność

12 wpisów

Działania na liczbach, ułamki i podzielność. Przydają się prawie w każdym zadaniu.

Kolejność działań
Arytmetyka · Liczby i ułamki
Działania z jednego poziomu wykonujesz od lewej do prawej, a przestawiać wolno tylko składniki i czynniki.
1. nawiasy, 2. potęgi i pierwiastki, 3. mnożenie i dzielenie, 4. dodawanie i odejmowanie
$\displaystyle {a+b}={b+a}$ $\displaystyle {a\cdot b}={b\cdot a}$ $\displaystyle {(a+b)+c}={a+(b+c)}$
Działania z jednego poziomu wykonujesz od lewej do prawej, a przestawiać wolno tylko składniki i czynniki.
1. nawiasy, 2. potęgi i pierwiastki, 3. mnożenie i dzielenie, 4. dodawanie i odejmowanie
$\displaystyle {a+b}={b+a}$ $\displaystyle {a\cdot b}={b\cdot a}$ $\displaystyle {(a+b)+c}={a+(b+c)}$
Na egzaminie10 zadań, ostatnio 2026 dod., zad. 9
ZadaniaZadania z arkuszy GraPrzećwicz w grze
Liczby ujemne
Arytmetyka · Liczby i ułamki
- dodawanie przy różnych znakach: od większej odległości od zera odejmujesz mniejszą, a znak bierzesz od liczby dalszej od zera
- mnożenie i dzielenie: jednakowe znaki dają plus, a różne dają minus
dodawanie przy różnych znakach: od większej odległości od zera odejmujesz mniejszą, a znak bierzesz od liczby dalszej od zera
mnożenie i dzielenie: jednakowe znaki dają plus, a różne dają minus
$\displaystyle {-17+19}={2},\quad$ $\displaystyle {-16+8}={-8}$ $\displaystyle {(-3)\cdot(-2)}={6},\quad$ $\displaystyle {(-6):2}={-3}$
$\displaystyle {-17+19}={2},\quad$ $\displaystyle {-16+8}={-8}$ $\displaystyle {(-3)\cdot(-2)}={6},\quad$ $\displaystyle {(-6):2}={-3}$
Na egzaminie7 zadań, ostatnio 2025, zad. 2
Moje omówienie ZadaniaZadania z arkuszy GraPrzećwicz w grze
Wartość bezwzględna
Arytmetyka · Liczby i ułamki
To odległość liczby od zera na osi liczbowej, więc nigdy nie jest ujemna.
$\displaystyle {|-7|}={7},\quad$ $\displaystyle {|7|}={7}$
To odległość liczby od zera na osi liczbowej, więc nigdy nie jest ujemna.
$\displaystyle {|-7|}={7},\quad$ $\displaystyle {|7|}={7}$
Na egzaminie7 zadań, ostatnio 2025 dod., zad. 19
Zadania z arkuszy
Ułamki zwykłe
Arytmetyka · Liczby i ułamki
Dodajesz i odejmujesz dopiero przy wspólnym mianowniku, a dzielisz, mnożąc przez odwrotność.
$\displaystyle {\frac{a}{b}}={\frac{a\cdot k}{b\cdot k}}\quad$ $\displaystyle {(k\ne0)}$ $\displaystyle {\frac12+\frac13}={\frac36+\frac26}={\frac56}$ $\displaystyle {\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}}={\frac{a\cdot c}{b\cdot d}}$ $\displaystyle {\frac{a}{b}:\frac{c}{d}}={\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}}$
Dodajesz i odejmujesz dopiero przy wspólnym mianowniku, a dzielisz, mnożąc przez odwrotność.
$\displaystyle {\frac{a}{b}}={\frac{a\cdot k}{b\cdot k}}\quad$ $\displaystyle {(k\ne0)}$ $\displaystyle {\frac12+\frac13}={\frac36+\frac26}={\frac56}$ $\displaystyle {\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}}={\frac{a\cdot c}{b\cdot d}}$ $\displaystyle {\frac{a}{b}:\frac{c}{d}}={\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}}$
Na egzaminie18 zadań, ostatnio 2026 dod., zad. 15
Moje omówienie ZadaniaZadania z arkuszy GraPrzećwicz w grze
Ułamki dziesiętne
Arytmetyka · Liczby i ułamki
- Dodawanie i odejmowanie: przecinek pod przecinkiem.
- Mnożenie: w wyniku tyle cyfr po przecinku, ile łącznie w obu czynnikach.
- Dzielenie: przesuwasz przecinek w obu liczbach, aż dzielnik będzie całkowity.
Dodawanie i odejmowanie: przecinek pod przecinkiem.
Mnożenie: w wyniku tyle cyfr po przecinku, ile łącznie w obu czynnikach.
Dzielenie: przesuwasz przecinek w obu liczbach, aż dzielnik będzie całkowity.
$\displaystyle {4{,}8:0{,}06}={480:6}={80}$
$\displaystyle {4{,}8:0{,}06}={480:6}={80}$
Na egzaminie6 zadań, ostatnio 2024 dod., zad. 2
Moje omówienie ZadaniaZadania z arkuszy GraPrzećwicz w grze
Ułamek liczby i całość
Arytmetyka · Liczby i ułamki
Część liczysz mnożeniem przez ułamek, a całość dzieleniem przez ten ułamek.
$\displaystyle {\frac35\text{ z }40}={\frac35\cdot40}={24}$ $\displaystyle {\text{całość}}={24:\frac35}={40}$
Część liczysz mnożeniem przez ułamek, a całość dzieleniem przez ten ułamek.
$\displaystyle {\frac35\text{ z }40}={\frac35\cdot40}={24}$ $\displaystyle {\text{całość}}={24:\frac35}={40}$
Na egzaminie3 zadania, ostatnio 2021, zad. 1
Moje omówienie ZadaniaZadania z arkuszy GraPrzećwicz w grze
Cechy podzielności
Arytmetyka · Liczby i ułamki
- przez 2: ostatnia cyfra jest parzysta
- przez 3: suma cyfr dzieli się przez 3
- przez 9: suma cyfr dzieli się przez 9
- przez 4: liczba z dwóch ostatnich cyfr dzieli się przez 4
- przez 5: ostatnia cyfra to 0 lub 5
- przez 10: ostatnia cyfra to 0
- przez 100: dwie ostatnie cyfry to 00
przez 2: ostatnia cyfra jest parzysta
przez 3: suma cyfr dzieli się przez 3
przez 9: suma cyfr dzieli się przez 9
przez 4: liczba z dwóch ostatnich cyfr dzieli się przez 4
przez 5: ostatnia cyfra to 0 lub 5
przez 10: ostatnia cyfra to 0
przez 100: dwie ostatnie cyfry to 00
Na egzaminie10 zadań, ostatnio 2026 dod., zad. 7
Zadania z arkuszy
Dzielenie z resztą
Arytmetyka · Liczby i ułamki
Dzielna to dzielnik razy wynik plus reszta, a reszta jest zawsze mniejsza od dzielnika.
$\displaystyle {47}={6\cdot7+5}$
Dzielna to dzielnik razy wynik plus reszta, a reszta jest zawsze mniejsza od dzielnika.
$\displaystyle {47}={6\cdot7+5}$
Na egzaminie8 zadań, ostatnio 2026, zad. 19
Zadania z arkuszy
NWD i NWW
Arytmetyka · Liczby i ułamki
NWD to iloczyn wspólnych czynników, a NWW to iloczyn wszystkich czynników, w którym wspólne liczysz raz.
$\displaystyle {24}={2\cdot2\cdot2\cdot3}$ $\displaystyle {36}={2\cdot2\cdot3\cdot3}$ $\displaystyle {\text{NWD}}={2\cdot2\cdot3}={12}$ $\displaystyle {\text{NWW}}={2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3}={72}$
NWD to iloczyn wspólnych czynników, a NWW to iloczyn wszystkich czynników, w którym wspólne liczysz raz.
$\displaystyle {24}={2\cdot2\cdot2\cdot3}$ $\displaystyle {36}={2\cdot2\cdot3\cdot3}$ $\displaystyle {\text{NWD}}={2\cdot2\cdot3}={12}$ $\displaystyle {\text{NWW}}={2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3}={72}$
Na egzaminie4 zadania, ostatnio 2026, zad. 2
Zadania z arkuszy
Liczby rzymskie
Arytmetyka · Liczby i ułamki
Znaki zapisujesz od największego i żaden nie stoi więcej niż trzy razy z rzędu, np. MMXXVII = 2027.
$\displaystyle {\text{I}}={1},\$ $\displaystyle {\text{V}}={5},\$ $\displaystyle {\text{X}}={10}$ $\displaystyle {\text{L}}={50},\$ $\displaystyle {\text{C}}={100}$ $\displaystyle {\text{D}}={500},\$ $\displaystyle {\text{M}}={1000}$
Mniejszy znak przed większym odejmujesz: IV = 4, IX = 9, XL = 40, XC = 90, CD = 400, CM = 900.
Znaki zapisujesz od największego i żaden nie stoi więcej niż trzy razy z rzędu, np. MMXXVII = 2027.
$\displaystyle {\text{I}}={1},\$ $\displaystyle {\text{V}}={5},\$ $\displaystyle {\text{X}}={10}$ $\displaystyle {\text{L}}={50},\$ $\displaystyle {\text{C}}={100}$ $\displaystyle {\text{D}}={500},\$ $\displaystyle {\text{M}}={1000}$
Mniejszy znak przed większym odejmujesz: IV = 4, IX = 9, XL = 40, XC = 90, CD = 400, CM = 900.
Na egzaminiejeszcze nie
Zaokrąglanie
Arytmetyka · Liczby i ułamki
Gdy pierwsza odrzucana cyfra to od 0 do 4, zaokrąglasz w dół, a od 5 do 9 w górę.
$\displaystyle {18{,}746}\approx{18{,}75}$ $\displaystyle {198\cdot51}\approx{200\cdot50}={10\,000}$
Gdy pierwsza odrzucana cyfra to od 0 do 4, zaokrąglasz w dół, a od 5 do 9 w górę.
$\displaystyle {18{,}746}\approx{18{,}75}$ $\displaystyle {198\cdot51}\approx{200\cdot50}={10\,000}$
Na egzaminie3 zadania, ostatnio 2019 dod., zad. 3
Moje omówienie ZadaniaZadania z arkuszy GraPrzećwicz w grze
O ile i ile razy
Arytmetyka · Liczby i ułamki
12 to o 8 więcej niż 4 i zarazem 3 razy więcej niż 4.
$\displaystyle {\text{o ile więcej}}={a-b}$ $\displaystyle {\text{ile razy więcej}}={a:b}$
12 to o 8 więcej niż 4 i zarazem 3 razy więcej niż 4.
$\displaystyle {\text{o ile więcej}}={a-b}$ $\displaystyle {\text{ile razy więcej}}={a:b}$
Na egzaminie5 zadań, ostatnio 2024 próbny, zad. 19
Zadania z arkuszy

Arytmetyka

Potęgi i pierwiastki

5 wpisów

Prawa działań na potęgach i pierwiastkach oraz zapis bardzo dużych i bardzo małych liczb.

Potęgi
Arytmetyka · Potęgi i pierwiastki
Wykładniki dodajesz albo odejmujesz tylko przy tej samej podstawie.
$\displaystyle {a^n}={\underbrace{a\cdot a\cdot\ldots\cdot a}_{n}}$ $\displaystyle {a^m\cdot a^n}={a^{m+n}}$ $\displaystyle {a^m:a^n}={a^{m-n}}$ $\displaystyle {(a^m)^n}={a^{m\cdot n}}$ $\displaystyle {a^n\cdot b^n}={(a\cdot b)^n}$ $\displaystyle {a^n:b^n}={(a:b)^n}$
Wykładniki dodajesz albo odejmujesz tylko przy tej samej podstawie.
$\displaystyle {a^n}={\underbrace{a\cdot a\cdot\ldots\cdot a}_{n}}$ $\displaystyle {a^m\cdot a^n}={a^{m+n}}$ $\displaystyle {a^m:a^n}={a^{m-n}}$ $\displaystyle {(a^m)^n}={a^{m\cdot n}}$ $\displaystyle {a^n\cdot b^n}={(a\cdot b)^n}$ $\displaystyle {a^n:b^n}={(a:b)^n}$
Na egzaminie19 zadań, ostatnio 2026 dod., zad. 4
Moje omówienie ZadaniaZadania z arkuszy GraPrzećwicz w grze
Notacja wykładnicza
Arytmetyka · Potęgi i pierwiastki
Pierwsza liczba jest co najmniej równa 1 i mniejsza od 10, a wykładnik mówi, o ile miejsc przesunąć przecinek.
$\displaystyle {4\,730\,000}={4{,}73\cdot10^6}$ $\displaystyle {0{,}00052}={5{,}2\cdot10^{-4}}$
Pierwsza liczba jest co najmniej równa 1 i mniejsza od 10, a wykładnik mówi, o ile miejsc przesunąć przecinek.
$\displaystyle {4\,730\,000}={4{,}73\cdot10^6}$ $\displaystyle {0{,}00052}={5{,}2\cdot10^{-4}}$
Na egzaminiejeszcze nie
Moje omówienie Przećwicz w grze
Pierwiastek kwadratowy i sześcienny
Arytmetyka · Potęgi i pierwiastki
Pierwiastek kwadratowy liczysz tylko z liczby nieujemnej, a sześcienny także z ujemnej.
$\displaystyle {\sqrt{81}}={9},\$ $\displaystyle {\text{bo }9^2}={81}$ $\displaystyle {\sqrt[3]{-125}}={-5}$ $\displaystyle {\text{bo }(-5)^3}={-125}$
Pierwiastek kwadratowy liczysz tylko z liczby nieujemnej, a sześcienny także z ujemnej.
$\displaystyle {\sqrt{81}}={9},\$ $\displaystyle {\text{bo }9^2}={81}$ $\displaystyle {\sqrt[3]{-125}}={-5}$ $\displaystyle {\text{bo }(-5)^3}={-125}$
Na egzaminie5 zadań, ostatnio 2026 dod., zad. 6
Moje omówienie ZadaniaZadania z arkuszy GraPrzećwicz w grze
Działania na pierwiastkach
Arytmetyka · Potęgi i pierwiastki
Pierwiastek z sumy nie jest sumą pierwiastków: $\sqrt{9+16}=5$ , a nie 7.
$\displaystyle {\sqrt{a\cdot b}}={\sqrt a\cdot\sqrt b}$ $\displaystyle {\sqrt{a:b}}={\sqrt a:\sqrt b}$ $\displaystyle {\sqrt{72}}={\sqrt{36\cdot2}}={6\sqrt2}$
Pierwiastek z sumy nie jest sumą pierwiastków: $\sqrt{9+16}=5$ , a nie 7.
$\displaystyle {\sqrt{a\cdot b}}={\sqrt a\cdot\sqrt b}$ $\displaystyle {\sqrt{a:b}}={\sqrt a:\sqrt b}$ $\displaystyle {\sqrt{72}}={\sqrt{36\cdot2}}={6\sqrt2}$
Na egzaminie5 zadań, ostatnio 2026, zad. 3
Moje omówienie ZadaniaZadania z arkuszy GraPrzećwicz w grze
Szacowanie pierwiastka
Arytmetyka · Potęgi i pierwiastki
Szukasz dwóch sąsiednich kwadratów, między którymi leży liczba pod pierwiastkiem.
$\displaystyle {7^2}={49}<{60}<{64}={8^2}$ $\displaystyle {7}<{\sqrt{60}}<{8}$
Szukasz dwóch sąsiednich kwadratów, między którymi leży liczba pod pierwiastkiem.
$\displaystyle {7^2}={49}<{60}<{64}={8^2}$ $\displaystyle {7}<{\sqrt{60}}<{8}$
Na egzaminie6 zadań, ostatnio 2024 próbny, zad. 4
ZadaniaZadania z arkuszy GraPrzećwicz w grze

Obliczenia procentowe

Procenty, proporcje i stosunek

6 wpisów

Trzy pytania o procent, podwyżki i obniżki oraz proporcja do zadań z życia.

Procent liczby
Obliczenia procentowe · Procenty i proporcje
Procent zamieniasz na ułamek i mnożysz przez liczbę.
$\displaystyle {p\%}={\frac{p}{100}}$ $\displaystyle {15\%\text{ z }240}={\frac{15}{100}\cdot240}={36}$
Procent zamieniasz na ułamek i mnożysz przez liczbę.
$\displaystyle {p\%}={\frac{p}{100}}$ $\displaystyle {15\%\text{ z }240}={\frac{15}{100}\cdot240}={36}$
Na egzaminie10 zadań, ostatnio 2026, zad. 1
Moje omówienie ZadaniaZadania z arkuszy GraPrzećwicz w grze
Jakim procentem jest część
Obliczenia procentowe · Procenty i proporcje
Dzielisz część przez całość i mnożysz wynik przez 100%.
$\displaystyle {\frac{\text{część}}{\text{całość}}\cdot100\%}$ $\displaystyle {\frac{18}{60}\cdot100\%}={30\%}$
Dzielisz część przez całość i mnożysz wynik przez 100%.
$\displaystyle {\frac{\text{część}}{\text{całość}}\cdot100\%}$ $\displaystyle {\frac{18}{60}\cdot100\%}={30\%}$
Na egzaminie8 zadań, ostatnio 2026, zad. 17
ZadaniaZadania z arkuszy GraPrzećwicz w grze
Całość z procentu
Obliczenia procentowe · Procenty i proporcje
Gdy znasz część i jej procent, dzielisz część przez ten procent zapisany jako ułamek.
$\displaystyle {\text{całość}}={\text{część}:\frac{p}{100}}$ $\displaystyle {36\%\text{ to }9}\ \Rightarrow\ {9:\frac{36}{100}}={25}$
Gdy znasz część i jej procent, dzielisz część przez ten procent zapisany jako ułamek.
$\displaystyle {\text{całość}}={\text{część}:\frac{p}{100}}$ $\displaystyle {36\%\text{ to }9}\ \Rightarrow\ {9:\frac{36}{100}}={25}$
Na egzaminie9 zadań, ostatnio 2024 próbny, zad. 7
Moje omówienie ZadaniaZadania z arkuszy GraPrzećwicz w grze
Podwyżka i obniżka
Obliczenia procentowe · Procenty i proporcje
Kolejną zmianę liczysz od nowej wartości, więc podwyżka i obniżka o ten sam procent się nie znoszą.
$\displaystyle {\text{o }20\%\text{ taniej}}\ \Rightarrow\ {80\%\text{ ceny}}$ $\displaystyle {100}\xrightarrow{+20\%}{120}\xrightarrow{-20\%}{96}$
Kolejną zmianę liczysz od nowej wartości, więc podwyżka i obniżka o ten sam procent się nie znoszą.
$\displaystyle {\text{o }20\%\text{ taniej}}\ \Rightarrow\ {80\%\text{ ceny}}$ $\displaystyle {100}\xrightarrow{+20\%}{120}\xrightarrow{-20\%}{96}$
Na egzaminie9 zadań, ostatnio 2026 dod., zad. 17
Moje omówienie ZadaniaZadania z arkuszy GraPrzećwicz w grze
Proporcja
Obliczenia procentowe · Procenty i proporcje
Wielkości są wprost proporcjonalne, gdy obie rosną tyle samo razy, więc pary zapisujesz w tej samej kolejności i mnożysz na krzyż.
$\displaystyle {4\text{ zeszyty}}\to{12\text{ zł}}$ $\displaystyle {7\text{ zeszytów}}\to {x}$ $\displaystyle {4x}={7\cdot12}\ \Rightarrow\ {x}={21}$
Wielkości są wprost proporcjonalne, gdy obie rosną tyle samo razy, więc pary zapisujesz w tej samej kolejności i mnożysz na krzyż.
$\displaystyle {4\text{ zeszyty}}\to{12\text{ zł}}$ $\displaystyle {7\text{ zeszytów}}\to {x}$ $\displaystyle {4x}={7\cdot12}\ \Rightarrow\ {x}={21}$
Na egzaminie14 zadań, ostatnio 2026 dod., zad. 2
Moje omówienie Zadania z arkuszy
Podział w stosunku
Obliczenia procentowe · Procenty i proporcje
Dodajesz liczby ze stosunku, liczysz jedną część i mnożysz ją przez liczbę części.
$\displaystyle {120\text{ w stosunku }2:3}$ $\displaystyle {120:(2+3)}={24}$ $\displaystyle {2\cdot24}={48}$ $\displaystyle {3\cdot24}={72}$
Dodajesz liczby ze stosunku, liczysz jedną część i mnożysz ją przez liczbę części.
$\displaystyle {120\text{ w stosunku }2:3}$ $\displaystyle {120:(2+3)}={24}$ $\displaystyle {2\cdot24}={48}$ $\displaystyle {3\cdot24}={72}$
Na egzaminie6 zadań, ostatnio 2026 dod., zad. 2
Zadania z arkuszy

Algebra

Wyrażenia i równania

2 wpisy

Porządkowanie wyrażeń i rozwiązywanie równań pierwszego stopnia.

Wyrażenia algebraiczne
Algebra · Wyrażenia i równania
Liczbę ujemną podstawiasz w nawiasie: dla $x=-3$ masz $x^2=(-3)^2=9$ .
$\displaystyle {3x+2x}={5x}$ $\displaystyle {a(b+c)}={ab+ac}$ $\displaystyle {-(a-b)}={-a+b}$ $\displaystyle {(a+b)(c+d)}={ac+ad+bc+bd}$
Liczbę ujemną podstawiasz w nawiasie: dla $x=-3$ masz $x^2=(-3)^2=9$ .
$\displaystyle {3x+2x}={5x}$ $\displaystyle {a(b+c)}={ab+ac}$ $\displaystyle {-(a-b)}={-a+b}$ $\displaystyle {(a+b)(c+d)}={ac+ad+bc+bd}$
Na egzaminie12 zadań, ostatnio 2026, zad. 8
Moje omówienie Zadania z arkuszy
Równania i przekształcanie wzorów
Algebra · Wyrażenia i równania
Po obu stronach wykonujesz to samo działanie, a mnożysz i dzielisz tylko przez liczbę różną od 0.
$\displaystyle \begin{aligned}3x-5&=16&&/+5\\3x&=21&&/:3\\x&=7\end{aligned}$ $\displaystyle {v}={\frac{s}{t}}\ \Rightarrow\ {s}={v\cdot t}$
Po obu stronach wykonujesz to samo działanie, a mnożysz i dzielisz tylko przez liczbę różną od 0.
$\displaystyle \begin{aligned}3x-5&=16&&/+5\\3x&=21&&/:3\\x&=7\end{aligned}$ $\displaystyle {v}={\frac{s}{t}}\ \Rightarrow\ {s}={v\cdot t}$
Na egzaminie49 zadań, ostatnio 2026 dod., zad. 3
Moje omówienie Zadania z arkuszy

Jeśli chcesz więcej

Kurs z matematyki

Znasz już zakres z matematyki - kurs prowadzi przez tematy i typy zadań we właściwej kolejności.

Zobacz kurs

Geometria

Kąty i własności figur

8 wpisów

Zależności między kątami i bokami, od których zaczyna się rozwiązanie.

Kąty przyległe i wierzchołkowe
Geometria · Kąty i figury
Kąty przyległe dają razem kąt półpełny, a kąty wierzchołkowe są równe.
$\displaystyle {\alpha+\beta}={180^\circ}$
kąt prosty ma $90°$ , półpełny $180°$ , a pełny $360°$
Kąty przyległe dają razem kąt półpełny, a kąty wierzchołkowe są równe.
$\displaystyle {\alpha+\beta}={180^\circ}$
kąt prosty ma $90°$ , półpełny $180°$ , a pełny $360°$
Na egzaminie6 zadań, ostatnio 2026 dod., zad. 18
Moje omówienie Zadania z arkuszy
Proste równoległe i sieczna
Geometria · Kąty i figury
- kąty odpowiadające są równe
- kąty naprzemianległe są równe
- kąty jednostronne wewnętrzne dają razem $180°$
kąty odpowiadające są równe
kąty naprzemianległe są równe
kąty jednostronne wewnętrzne dają razem $180°$
Na egzaminie3 zadania, ostatnio 2026 dod., zad. 18
Moje omówienie Zadania z arkuszy
Suma kątów
Geometria · Kąty i figury
Przekątne z jednego wierzchołka dzielą $n$ -kąt na $n-2$ trójkąty.
$\displaystyle {\text{trójkąt: }180^\circ}$ $\displaystyle {\text{czworokąt: }360^\circ}$ $\displaystyle {n\text{-kąt: }(n-2)\cdot180^\circ}$
Przekątne z jednego wierzchołka dzielą $n$ -kąt na $n-2$ trójkąty.
$\displaystyle {\text{trójkąt: }180^\circ}$ $\displaystyle {\text{czworokąt: }360^\circ}$ $\displaystyle {n\text{-kąt: }(n-2)\cdot180^\circ}$
Na egzaminie18 zadań, ostatnio 2026 dod., zad. 18
Zadania z arkuszy
Własności czworokątów
Geometria · Kąty i figury
- równoległobok: przeciwległe boki i kąty są równe, a przekątne dzielą się na połowy
- prostokąt: przekątne są równe
- romb: przekątne są prostopadłe i dzielą kąty na połowy
- trapez: kąty przy jednym ramieniu dają razem $180°$
równoległobok: przeciwległe boki i kąty są równe, a przekątne dzielą się na połowy
prostokąt: przekątne są równe
romb: przekątne są prostopadłe i dzielą kąty na połowy
trapez: kąty przy jednym ramieniu dają razem $180°$
Na egzaminie11 zadań, ostatnio 2025 dod., zad. 14
Zadania z arkuszy
Trójkąt równoramienny i równoboczny
Geometria · Kąty i figury
- równoramienny: kąty przy podstawie są równe
- równoboczny: każdy kąt ma $60°$
równoramienny: kąty przy podstawie są równe
równoboczny: każdy kąt ma $60°$
Na egzaminie18 zadań, ostatnio 2026 dod., zad. 18
Zadania z arkuszy
Nierówność trójkąta
Geometria · Kąty i figury
Równość zachodzi, gdy $B$ leży na odcinku $AC$ , więc trójkąt zbudujesz tylko wtedy, gdy suma dwóch krótszych boków jest większa od najdłuższego.
$\displaystyle {AB+BC}\ge {AC}$
Równość zachodzi, gdy $B$ leży na odcinku $AC$ , więc trójkąt zbudujesz tylko wtedy, gdy suma dwóch krótszych boków jest większa od najdłuższego.
$\displaystyle {AB+BC}\ge {AC}$
Na egzaminie5 zadań, ostatnio 2024 próbny, zad. 12
Zadania z arkuszy
Cechy przystawania trójkątów
Geometria · Kąty i figury
Trzy równe kąty nie wystarczą, bo trójkąty mogą mieć różne rozmiary.
BBB: trzy pary równych boków
BKB: dwa boki i kąt między nimi
KBK: bok i dwa kąty przy nim
Trzy równe kąty nie wystarczą, bo trójkąty mogą mieć różne rozmiary.
BBB: trzy pary równych boków
BKB: dwa boki i kąt między nimi
KBK: bok i dwa kąty przy nim
Na egzaminie3 zadania, ostatnio 2024 próbny, zad. 12
Moje omówienie Zadania z arkuszy
Twierdzenie Pitagorasa
Geometria · Kąty i figury
Działa tylko w trójkącie prostokątnym, a $c$ to przeciwprostokątna naprzeciw kąta prostego.
$\displaystyle {a^2+b^2}={c^2}$
Działa tylko w trójkącie prostokątnym, a $c$ to przeciwprostokątna naprzeciw kąta prostego.
$\displaystyle {a^2+b^2}={c^2}$
Na egzaminie10 zadań, ostatnio 2026, zad. 12
Moje omówienie Zadania z arkuszy

Geometria

Pola, obwody, koło i okrąg

9 wpisów

Pola i obwody figur płaskich, długość okręgu i pole koła.

Kwadrat i prostokąt
Geometria · Pola i obwody
Pierwsza linijka to kwadrat o boku $a$ , druga prostokąt o bokach $a$ i $b$ .
$\displaystyle {P}={a^2},\quad$ $\displaystyle {O}={4a}$ $\displaystyle {P}={a\cdot b},\quad$ $\displaystyle {O}={2a+2b}$
Pierwsza linijka to kwadrat o boku $a$ , druga prostokąt o bokach $a$ i $b$ .
$\displaystyle {P}={a^2},\quad$ $\displaystyle {O}={4a}$ $\displaystyle {P}={a\cdot b},\quad$ $\displaystyle {O}={2a+2b}$
Na egzaminie23 zadania, ostatnio 2026 dod., zad. 19
Moje omówienie Zadania z arkuszy
Trójkąt
Geometria · Pola i obwody
Wysokość $h$ jest prostopadła do boku $a$ , na który ją opuszczasz.
$\displaystyle {P}={\frac{a\cdot h}{2}}$ $\displaystyle {O}={a+b+c}$
Wysokość $h$ jest prostopadła do boku $a$ , na który ją opuszczasz.
$\displaystyle {P}={\frac{a\cdot h}{2}}$ $\displaystyle {O}={a+b+c}$
Na egzaminie21 zadań, ostatnio 2026 dod., zad. 12
Zadania z arkuszy
Równoległobok
Geometria · Pola i obwody
Wysokość opuszczasz prostopadle na bok $a$ albo na jego przedłużenie.
$\displaystyle {P}={a\cdot h},\quad$ $\displaystyle {O}={2a+2b}$
Wysokość opuszczasz prostopadle na bok $a$ albo na jego przedłużenie.
$\displaystyle {P}={a\cdot h},\quad$ $\displaystyle {O}={2a+2b}$
Na egzaminie4 zadania, ostatnio 2026 dod., zad. 12
Zadania z arkuszy
Romb
Geometria · Pola i obwody
$e$ i $f$ to długości całych przekątnych.
$\displaystyle {P}={a\cdot h}={\frac{e\cdot f}{2}}$ $\displaystyle {O}={4a}$
$e$ i $f$ to długości całych przekątnych.
$\displaystyle {P}={a\cdot h}={\frac{e\cdot f}{2}}$ $\displaystyle {O}={4a}$
Na egzaminie5 zadań, ostatnio 2025 dod., zad. 9
Moje omówienie Zadania z arkuszy
Trapez
Geometria · Pola i obwody
$a$ i $b$ to podstawy, czyli boki równoległe, a $h$ jest do nich prostopadła.
$\displaystyle {P}={\frac{(a+b)\cdot h}{2}}$
$a$ i $b$ to podstawy, czyli boki równoległe, a $h$ jest do nich prostopadła.
$\displaystyle {P}={\frac{(a+b)\cdot h}{2}}$
Na egzaminie7 zadań, ostatnio 2026 dod., zad. 19
Moje omówienie Zadania z arkuszy
Figura złożona
Geometria · Pola i obwody
- Pole: dzielisz figurę na znane części i dodajesz ich pola albo odejmujesz brakujący kawałek od większej figury.
- Obwód: dodajesz tylko odcinki, które leżą na zewnętrznym brzegu.
Pole: dzielisz figurę na znane części i dodajesz ich pola albo odejmujesz brakujący kawałek od większej figury.
Obwód: dodajesz tylko odcinki, które leżą na zewnętrznym brzegu.
Na egzaminie5 zadań, ostatnio 2025, zad. 20
Zadania z arkuszy
Koło i okrąg
Geometria · Pola i obwody
Promień z długości okręgu to $r=L:2\pi$ , więc przy $L=10\pi$ masz $r=5$ .
$\displaystyle {d}={2r}$ $\displaystyle {L}={2\pi r}$ $\displaystyle {P}={\pi r^2}$
Promień z długości okręgu to $r=L:2\pi$ , więc przy $L=10\pi$ masz $r=5$ .
$\displaystyle {d}={2r}$ $\displaystyle {L}={2\pi r}$ $\displaystyle {P}={\pi r^2}$
Na egzaminie2 zadania, ostatnio 2024 próbny, zad. 15
Moje omówienie Zadania z arkuszy
Promień, średnica i cięciwa
Geometria · Pola i obwody
- Średnica to najdłuższa cięciwa i ma długość $2r$ .
- Prosta ze środka prostopadła do cięciwy dzieli ją na połowy.
Średnica to najdłuższa cięciwa i ma długość $2r$ .
Prosta ze środka prostopadła do cięciwy dzieli ją na połowy.
Na egzaminie2 zadania, ostatnio 2024 próbny, zad. 15
Moje omówienie Zadania z arkuszy
Skróty z Pitagorasa
Geometria · Pola i obwody
To przekątna kwadratu oraz wysokość i pole trójkąta równobocznego, a każdy z tych wzorów wyprowadzisz z Pitagorasa.
$\displaystyle {d}={a\sqrt2}$ $\displaystyle {h}={\frac{a\sqrt3}{2}}$ $\displaystyle {P}={\frac{a^2\sqrt3}{4}}$
To przekątna kwadratu oraz wysokość i pole trójkąta równobocznego, a każdy z tych wzorów wyprowadzisz z Pitagorasa.
$\displaystyle {d}={a\sqrt2}$ $\displaystyle {h}={\frac{a\sqrt3}{2}}$ $\displaystyle {P}={\frac{a^2\sqrt3}{4}}$
Na egzaminie1 zadanie, ostatnio 2022 dod., zad. 13
Zadania z arkuszy

Geometria przestrzenna

Graniastosłupy i ostrosłupy

5 wpisów

Objętość i pole powierzchni brył, które liczysz na egzaminie.

Sześcian
Geometria przestrzenna · Bryły
Sześcian ma 12 krawędzi długości $a$ , więc ich suma to $12a$ .
$\displaystyle {V}={a^3},\quad$ $\displaystyle {P_c}={6a^2}$
Sześcian ma 12 krawędzi długości $a$ , więc ich suma to $12a$ .
$\displaystyle {V}={a^3},\quad$ $\displaystyle {P_c}={6a^2}$
Na egzaminie10 zadań, ostatnio 2026 dod., zad. 14
Zadania z arkuszy
Prostopadłościan
Geometria przestrzenna · Bryły
Suma wszystkich krawędzi to $4a+4b+4c$ .
$\displaystyle {V}={a\cdot b\cdot c}$ $\displaystyle {P_c}={2ab+2ac+2bc}$
Suma wszystkich krawędzi to $4a+4b+4c$ .
$\displaystyle {V}={a\cdot b\cdot c}$ $\displaystyle {P_c}={2ab+2ac+2bc}$
Na egzaminie19 zadań, ostatnio 2026 dod., zad. 14
Zadania z arkuszy
Graniastosłup prosty
Geometria przestrzenna · Bryły
Pole powierzchni to suma pól wszystkich ścian z siatki, a $H$ to wysokość bryły.
$\displaystyle {V}={P_p\cdot H}$ $\displaystyle {P_b}={O_p\cdot H}$ $\displaystyle {P_c}={2P_p+P_b}$
Pole powierzchni to suma pól wszystkich ścian z siatki, a $H$ to wysokość bryły.
$\displaystyle {V}={P_p\cdot H}$ $\displaystyle {P_b}={O_p\cdot H}$ $\displaystyle {P_c}={2P_p+P_b}$
Na egzaminie27 zadań, ostatnio 2026 dod., zad. 14
Moje omówienie Zadania z arkuszy
Ostrosłup
Geometria przestrzenna · Bryły
$H$ to odcinek z wierzchołka prostopadły do podstawy, a nie krawędź boczna.
$\displaystyle {V}={\frac13P_p\cdot H}$ $\displaystyle {P_c}={P_p+P_b}$
$H$ to odcinek z wierzchołka prostopadły do podstawy, a nie krawędź boczna.
$\displaystyle {V}={\frac13P_p\cdot H}$ $\displaystyle {P_c}={P_p+P_b}$
Na egzaminie9 zadań, ostatnio 2026, zad. 18
Moje omówienie Zadania z arkuszy
Wierzchołki, krawędzie i ściany
Geometria przestrzenna · Bryły
Na przykład graniastosłup pięciokątny ma 10 wierzchołków, 15 krawędzi i 7 ścian.
graniastosłup $n$ -kątny: $2n$ wierzchołków, $3n$ krawędzi, $n+2$ ścian
ostrosłup $n$ -kątny: $n+1$ wierzchołków, $2n$ krawędzi, $n+1$ ścian
Na przykład graniastosłup pięciokątny ma 10 wierzchołków, 15 krawędzi i 7 ścian.
graniastosłup $n$ -kątny: $2n$ wierzchołków, $3n$ krawędzi, $n+2$ ścian
ostrosłup $n$ -kątny: $n+1$ wierzchołków, $2n$ krawędzi, $n+1$ ścian
Na egzaminie16 zadań, ostatnio 2026 dod., zad. 20
Zadania z arkuszy

Geometria na płaszczyźnie

Układ współrzędnych i oś liczbowa

5 wpisów

Punkty i odcinki w układzie współrzędnych oraz zbiory liczb na osi.

Punkt w układzie współrzędnych
Geometria na płaszczyźnie · Współrzędne i oś
Najpierw odczytujesz $x$ na osi poziomej, potem $y$ na pionowej, a ruch w lewo albo w dół odejmuje.
$\displaystyle {A}={(x,\,y)}$
Najpierw odczytujesz $x$ na osi poziomej, potem $y$ na pionowej, a ruch w lewo albo w dół odejmuje.
$\displaystyle {A}={(x,\,y)}$
Na egzaminie4 zadania, ostatnio 2025, zad. 14
Zadania z arkuszy
Środek odcinka
Geometria na płaszczyźnie · Współrzędne i oś
Drugi koniec odcinka liczysz z tego samego wzoru, osobno dla $x$ i dla $y$ : przy $A=(2,-1)$ i $S=(5,3)$ wychodzi $B=(8,7)$ .
$\displaystyle {x_S}={\frac{x_A+x_B}{2}},\quad$ $\displaystyle {y_S}={\frac{y_A+y_B}{2}}$ $\displaystyle {\frac{2+x_B}{2}}={5}\ \Rightarrow\ {x_B}={8}$
Drugi koniec odcinka liczysz z tego samego wzoru, osobno dla $x$ i dla $y$ : przy $A=(2,-1)$ i $S=(5,3)$ wychodzi $B=(8,7)$ .
$\displaystyle {x_S}={\frac{x_A+x_B}{2}},\quad$ $\displaystyle {y_S}={\frac{y_A+y_B}{2}}$ $\displaystyle {\frac{2+x_B}{2}}={5}\ \Rightarrow\ {x_B}={8}$
Na egzaminie3 zadania, ostatnio 2019 dod., zad. 9
Moje omówienie Zadania z arkuszy
Długość odcinka
Geometria na płaszczyźnie · Współrzędne i oś
Ukośny odcinek to przeciwprostokątna trójkąta z kratek, więc liczysz go z Pitagorasa.
$\displaystyle {|AB|}={|x_B-x_A|\ \text{(poziomy)}}$ $\displaystyle {|AB|^2}={3^2+4^2}\ \Rightarrow\ {|AB|}={5}$
Ukośny odcinek to przeciwprostokątna trójkąta z kratek, więc liczysz go z Pitagorasa.
$\displaystyle {|AB|}={|x_B-x_A|\ \text{(poziomy)}}$ $\displaystyle {|AB|^2}={3^2+4^2}\ \Rightarrow\ {|AB|}={5}$
Na egzaminie2 zadania, ostatnio 2026 dod., zad. 11
Zadania z arkuszy
Odstępy na osi liczbowej
Geometria na płaszczyźnie · Współrzędne i oś
Liczysz odstępy między kreskami, a nie same kreski, jeden odstęp oznaczasz przez $x$ i układasz równanie.
$\displaystyle \begin{aligned}5x&=21-6\\x&=3\end{aligned}$
Liczysz odstępy między kreskami, a nie same kreski, jeden odstęp oznaczasz przez $x$ i układasz równanie.
$\displaystyle \begin{aligned}5x&=21-6\\x&=3\end{aligned}$
Na egzaminie7 zadań, ostatnio 2025 dod., zad. 19
Moje omówienie Zadania z arkuszy
Zbiór liczb na osi
Geometria na płaszczyźnie · Współrzędne i oś
Pusta kropka znaczy, że liczba graniczna nie należy do zbioru, a pełna, że należy.
$x>1{,}5$ : pusta kropka i promień w prawo
$x\le-2$ : pełna kropka i promień w lewo
Pusta kropka znaczy, że liczba graniczna nie należy do zbioru, a pełna, że należy.
$x>1{,}5$ : pusta kropka i promień w prawo
$x\le-2$ : pełna kropka i promień w lewo
Na egzaminie3 zadania, ostatnio 2025, zad. 12
Zadania z arkuszy

Obliczenia praktyczne

Jednostki, czas, skala i prędkość

7 wpisów

Przeliczanie jednostek, zegar i kalendarz, skala mapy i ruch.

Droga, prędkość i czas
Obliczenia praktyczne · Jednostki i czas
Przed podstawieniem ujednolicasz jednostki, a średnia prędkość to cała droga przez cały czas.
$\displaystyle {s}={v\cdot t}$ $\displaystyle {v}={\frac{s}{t}},\quad$ $\displaystyle {t}={\frac{s}{v}}$ $\displaystyle {72\,\tfrac{\text{km}}{\text{h}}}={\frac{72\,000\text{ m}}{3600\text{ s}}}={20\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}}$
Przed podstawieniem ujednolicasz jednostki, a średnia prędkość to cała droga przez cały czas.
$\displaystyle {s}={v\cdot t}$ $\displaystyle {v}={\frac{s}{t}},\quad$ $\displaystyle {t}={\frac{s}{v}}$ $\displaystyle {72\,\tfrac{\text{km}}{\text{h}}}={\frac{72\,000\text{ m}}{3600\text{ s}}}={20\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}}$
Na egzaminie19 zadań, ostatnio 2026 dod., zad. 10
Moje omówienie Zadania z arkuszy
Czas i zegar
Obliczenia praktyczne · Jednostki i czas
- $1{,}5$ h to 1 h 30 min, a nie 1 h 50 min.
- Od 13:47 do 16:18: 13 min do 14:00, 2 h do 16:00 i 18 min, razem 2 h 31 min.
$\displaystyle {1\text{ h}}={60\text{ min}}={3600\text{ s}}$ $\displaystyle {1\text{ doba}}={24\text{ h}}$
$1{,}5$ h to 1 h 30 min, a nie 1 h 50 min.
Od 13:47 do 16:18: 13 min do 14:00, 2 h do 16:00 i 18 min, razem 2 h 31 min.
$\displaystyle {1\text{ h}}={60\text{ min}}={3600\text{ s}}$ $\displaystyle {1\text{ doba}}={24\text{ h}}$
Na egzaminie14 zadań, ostatnio 2026, zad. 16
ZadaniaZadania z arkuszy GraPrzećwicz w grze
Kalendarz
Obliczenia praktyczne · Jednostki i czas
- 30 dni mają kwiecień, czerwiec, wrzesień i listopad, luty ma 28 albo 29, a reszta 31.
- Rok przestępny dzieli się przez 4, ale rok kończący stulecie musi dzielić się przez 400.
- Dzień tygodnia przesuwa się o resztę z dzielenia liczby dni przez 7.
30 dni mają kwiecień, czerwiec, wrzesień i listopad, luty ma 28 albo 29, a reszta 31.
Rok przestępny dzieli się przez 4, ale rok kończący stulecie musi dzielić się przez 400.
Dzień tygodnia przesuwa się o resztę z dzielenia liczby dni przez 7.
Na egzaminie2 zadania, ostatnio 2020 dod., zad. 19
Zadania z arkuszy
Długość i masa
Obliczenia praktyczne · Jednostki i czas
1 cm to 10 mm, więc 1 m ma 1000 mm.
$\displaystyle {1\text{ km}}={1000\text{ m}}$ $\displaystyle {1\text{ m}}={10\text{ dm}}={100\text{ cm}}$ $\displaystyle {1\text{ t}}={1000\text{ kg}}$ $\displaystyle {1\text{ kg}}={100\text{ dag}}={1000\text{ g}}$
1 cm to 10 mm, więc 1 m ma 1000 mm.
$\displaystyle {1\text{ km}}={1000\text{ m}}$ $\displaystyle {1\text{ m}}={10\text{ dm}}={100\text{ cm}}$ $\displaystyle {1\text{ t}}={1000\text{ kg}}$ $\displaystyle {1\text{ kg}}={100\text{ dag}}={1000\text{ g}}$
Na egzaminie1 zadanie, ostatnio 2023 dod., zad. 3
ZadaniaZadania z arkuszy GraPrzećwicz w grze
Jednostki pola
Obliczenia praktyczne · Jednostki i czas
Gdy boki są w różnych jednostkach, najpierw zamień długości, a dopiero potem licz pole, bo jednostek pola na egzaminie nie zamieniasz.
$\displaystyle {1\text{ a}}={100\text{ m}^2}$ $\displaystyle {1\text{ ha}}={100\text{ a}}={10\,000\text{ m}^2}$
Gdy boki są w różnych jednostkach, najpierw zamień długości, a dopiero potem licz pole, bo jednostek pola na egzaminie nie zamieniasz.
$\displaystyle {1\text{ a}}={100\text{ m}^2}$ $\displaystyle {1\text{ ha}}={100\text{ a}}={10\,000\text{ m}^2}$
Na egzaminiejeszcze nie
ZadaniaZadania z arkuszy GraPrzećwicz w grze
Objętość i pojemność
Obliczenia praktyczne · Jednostki i czas
Przelicznik długości podnosisz do sześcianu: $1\text{ dm}^3=1000\text{ cm}^3$ .
$\displaystyle {1\text{ dm}^3}={1\text{ l}}={1000\text{ ml}}$ $\displaystyle {1\text{ cm}^3}={1\text{ ml}}$ $\displaystyle {1\text{ m}^3}={1000\text{ l}}$
Przelicznik długości podnosisz do sześcianu: $1\text{ dm}^3=1000\text{ cm}^3$ .
$\displaystyle {1\text{ dm}^3}={1\text{ l}}={1000\text{ ml}}$ $\displaystyle {1\text{ cm}^3}={1\text{ ml}}$ $\displaystyle {1\text{ m}^3}={1000\text{ l}}$
Na egzaminiejeszcze nie
ZadaniaZadania z arkuszy GraPrzećwicz w grze
Skala
Obliczenia praktyczne · Jednostki i czas
W skali $1:n$ odległość w terenie jest $n$ razy większa niż na mapie.
$\displaystyle {\text{skala }1:50\,000}$ $\displaystyle {3\text{ cm}\cdot50\,000}={150\,000\text{ cm}}={1{,}5\text{ km}}$
W skali $1:n$ odległość w terenie jest $n$ razy większa niż na mapie.
$\displaystyle {\text{skala }1:50\,000}$ $\displaystyle {3\text{ cm}\cdot50\,000}={150\,000\text{ cm}}={1{,}5\text{ km}}$
Na egzaminie2 zadania, ostatnio 2024 dod., zad. 12
Moje omówienie Zadania z arkuszy

Statystyka i prawdopodobieństwo

Średnia, diagram kołowy i prawdopodobieństwo

3 wpisy

Średnia arytmetyczna, diagram kołowy i proste doświadczenia losowe.

Średnia arytmetyczna
Statystyka i prawdopodobieństwo · Dane i losowość
Brakującą liczbę znajdziesz z sumy wszystkich danych, a powtarzającą się wartość mnożysz przez liczbę jej wystąpień.
$\displaystyle {\text{średnia}}={\frac{\text{suma danych}}{\text{liczba danych}}}$ $\displaystyle {\text{suma}}={\text{średnia}}\cdot\allowbreak {\text{liczba danych}}$ $\displaystyle {\frac{2\cdot3+3\cdot5}{2+3}}={4{,}2}$
Brakującą liczbę znajdziesz z sumy wszystkich danych, a powtarzającą się wartość mnożysz przez liczbę jej wystąpień.
$\displaystyle {\text{średnia}}={\frac{\text{suma danych}}{\text{liczba danych}}}$ $\displaystyle {\text{suma}}={\text{średnia}}\cdot\allowbreak {\text{liczba danych}}$ $\displaystyle {\frac{2\cdot3+3\cdot5}{2+3}}={4{,}2}$
Na egzaminie12 zadań, ostatnio 2026 dod., zad. 1
Moje omówienie Zadania z arkuszy
Diagram kołowy
Statystyka i prawdopodobieństwo · Dane i losowość
Kąt wycinka liczysz tak samo jak procent z całości, bo całe koło to $360°$ .
$\displaystyle {100\%}={360^\circ}$ $\displaystyle {1\%}={3{,}6^\circ}$ $\displaystyle {25\%}={90^\circ}$
Kąt wycinka liczysz tak samo jak procent z całości, bo całe koło to $360°$ .
$\displaystyle {100\%}={360^\circ}$ $\displaystyle {1\%}={3{,}6^\circ}$ $\displaystyle {25\%}={90^\circ}$
Na egzaminie1 zadanie, ostatnio 2021 dod., zad. 1
Zadania z arkuszy
Prawdopodobieństwo
Statystyka i prawdopodobieństwo · Dane i losowość
Wzór działa, gdy każdy wynik jest jednakowo możliwy, jak ścianki kostki, a prawdopodobieństwo zawsze leży między 0 a 1.
$\displaystyle {P}={\frac{\text{sprzyjające}}{\text{wszystkie}}}$ $\displaystyle {P(5\text{ lub }6)}={\frac26}={\frac13}$
Wzór działa, gdy każdy wynik jest jednakowo możliwy, jak ścianki kostki, a prawdopodobieństwo zawsze leży między 0 a 1.
$\displaystyle {P}={\frac{\text{sprzyjające}}{\text{wszystkie}}}$ $\displaystyle {P(5\text{ lub }6)}={\frac26}={\frac13}$
Na egzaminie13 zadań, ostatnio 2026 dod., zad. 8
Moje omówienie Zadania z arkuszy

Poza zakresem E8

Tego nie musisz dokładać

Te tematy znajdziesz w innych kartach wzorów i podręcznikach, ale na egzaminie ósmoklasisty do 2030 r. nie są potrzebne.

Wzory na walec, stożek i kulę: Na aktualnym E8 trzeba rozpoznawać te bryły, ale nie obliczać ich objętości ani pól powierzchni.
Ogólne prawa potęg o wykładniku ujemnym: Nie są osobnym działem aktualnego E8. Ujemny wykładnik występuje w wymaganej notacji a·10ᵏ.
Mediana i zaawansowana statystyka: Aktualny zakres wymaga średniej arytmetycznej, odczytu danych i diagramów, ale nie mediany.
Trygonometria, Tales i podobieństwo: Nie należą do podstawy obowiązującej na E8 w latach 2027-2030.
Wzór kwadratowy i układy równań: Na E8 rozwiązujesz równania pierwszego stopnia z jedną niewiadomą.
Twierdzenie odwrotne do Pitagorasa: Aktualna podstawa wymaga twierdzenia Pitagorasa, ale jawnie nie wymaga twierdzenia odwrotnego.

Źródła

Skąd ten zakres?

Karta obejmuje wzory i reguły z podstawy programowej, na której CKE opiera egzamin. Sprawdziliśmy ją na 420 zadaniach z arkuszy CKE, także próbnych i dodatkowych.

Podstawa programowa obowiązująca na E8 2027-2030
Matematyka: s. 182-194 PDF.
Informator CKE z matematyki od roku szkolnego 2024/2025
CKE zaznacza, że przykłady nie wyczerpują całego zakresu.
Przepisy przejściowe nowej podstawy z 2026 r.
§ 4: klasa VIII pozostaje przy dotychczasowej podstawie do roku 2029/2030.
Komunikat CKE o przyborach na egzaminie w 2026 r.
Standardowo: czarny długopis i linijka; bez karty wzorów i kalkulatora.

Matematyka · egzamin ósmoklasisty 2027

Karta wzorów E8

62 wzory i reguły · podstawa programowa z 2024 r.

Liczby, ułamki i podzielność

Kolejność działań

1. nawiasy, 2. potęgi i pierwiastki, 3. mnożenie i dzielenie, 4. dodawanie i odejmowanie

\displaystyle {a+b}={b+a}

\displaystyle {a\cdot b}={b\cdot a}

\displaystyle {(a+b)+c}={a+(b+c)}

Działania z jednego poziomu wykonujesz od lewej do prawej, a przestawiać wolno tylko składniki i czynniki.

Liczby ujemne

dodawanie przy różnych znakach: od większej odległości od zera odejmujesz mniejszą, a znak bierzesz od liczby dalszej od zera
mnożenie i dzielenie: jednakowe znaki dają plus, a różne dają minus

\displaystyle {-17+19}={2},\quad

\displaystyle {-16+8}={-8}

\displaystyle {(-3)\cdot(-2)}={6},\quad

\displaystyle {(-6):2}={-3}

Wartość bezwzględna

\displaystyle {|-7|}={7},\quad

\displaystyle {|7|}={7}

To odległość liczby od zera na osi liczbowej, więc nigdy nie jest ujemna.

Ułamki zwykłe

\displaystyle {\frac{a}{b}}={\frac{a\cdot k}{b\cdot k}}\quad

\displaystyle {(k\ne0)}

\displaystyle {\frac12+\frac13}={\frac36+\frac26}={\frac56}

\displaystyle {\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}}={\frac{a\cdot c}{b\cdot d}}

\displaystyle {\frac{a}{b}:\frac{c}{d}}={\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}}

Dodajesz i odejmujesz dopiero przy wspólnym mianowniku, a dzielisz, mnożąc przez odwrotność.

Ułamki dziesiętne

Dodawanie i odejmowanie: przecinek pod przecinkiem.
Mnożenie: w wyniku tyle cyfr po przecinku, ile łącznie w obu czynnikach.
Dzielenie: przesuwasz przecinek w obu liczbach, aż dzielnik będzie całkowity.

\displaystyle {4{,}8:0{,}06}={480:6}={80}

Ułamek liczby i całość

\displaystyle {\frac35\text{ z }40}={\frac35\cdot40}={24}

\displaystyle {\text{całość}}={24:\frac35}={40}

Część liczysz mnożeniem przez ułamek, a całość dzieleniem przez ten ułamek.

Cechy podzielności

przez 2: ostatnia cyfra jest parzysta
przez 3: suma cyfr dzieli się przez 3
przez 9: suma cyfr dzieli się przez 9
przez 4: liczba z dwóch ostatnich cyfr dzieli się przez 4
przez 5: ostatnia cyfra to 0 lub 5
przez 10: ostatnia cyfra to 0
przez 100: dwie ostatnie cyfry to 00

Dzielenie z resztą

\displaystyle {47}={6\cdot7+5}

Dzielna to dzielnik razy wynik plus reszta, a reszta jest zawsze mniejsza od dzielnika.

NWD i NWW

\displaystyle {24}={2\cdot2\cdot2\cdot3}

\displaystyle {36}={2\cdot2\cdot3\cdot3}

\displaystyle {\text{NWD}}={2\cdot2\cdot3}={12}

\displaystyle {\text{NWW}}={2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3}={72}

NWD to iloczyn wspólnych czynników, a NWW to iloczyn wszystkich czynników, w którym wspólne liczysz raz.

Liczby rzymskie

\displaystyle {\text{I}}={1},\

\displaystyle {\text{V}}={5},\

\displaystyle {\text{X}}={10}

\displaystyle {\text{L}}={50},\

\displaystyle {\text{C}}={100}

\displaystyle {\text{D}}={500},\

\displaystyle {\text{M}}={1000}

Mniejszy znak przed większym odejmujesz: IV = 4, IX = 9, XL = 40, XC = 90, CD = 400, CM = 900.

Znaki zapisujesz od największego i żaden nie stoi więcej niż trzy razy z rzędu, np. MMXXVII = 2027.

Zaokrąglanie

\displaystyle {18{,}746}\approx{18{,}75}

\displaystyle {198\cdot51}\approx{200\cdot50}={10\,000}

Gdy pierwsza odrzucana cyfra to od 0 do 4, zaokrąglasz w dół, a od 5 do 9 w górę.

O ile i ile razy

\displaystyle {\text{o ile więcej}}={a-b}

\displaystyle {\text{ile razy więcej}}={a:b}

12 to o 8 więcej niż 4 i zarazem 3 razy więcej niż 4.

Potęgi i pierwiastki

Potęgi

\displaystyle {a^n}={\underbrace{a\cdot a\cdot\ldots\cdot a}_{n}}

\displaystyle {a^m\cdot a^n}={a^{m+n}}

\displaystyle {a^m:a^n}={a^{m-n}}

\displaystyle {(a^m)^n}={a^{m\cdot n}}

\displaystyle {a^n\cdot b^n}={(a\cdot b)^n}

\displaystyle {a^n:b^n}={(a:b)^n}

Wykładniki dodajesz albo odejmujesz tylko przy tej samej podstawie.

Notacja wykładnicza

\displaystyle {4\,730\,000}={4{,}73\cdot10^6}

\displaystyle {0{,}00052}={5{,}2\cdot10^{-4}}

Pierwsza liczba jest co najmniej równa 1 i mniejsza od 10, a wykładnik mówi, o ile miejsc przesunąć przecinek.

Pierwiastek kwadratowy i sześcienny

\displaystyle {\sqrt{81}}={9},\

\displaystyle {\text{bo }9^2}={81}

\displaystyle {\sqrt[3]{-125}}={-5}

\displaystyle {\text{bo }(-5)^3}={-125}

Pierwiastek kwadratowy liczysz tylko z liczby nieujemnej, a sześcienny także z ujemnej.

Działania na pierwiastkach

\displaystyle {\sqrt{a\cdot b}}={\sqrt a\cdot\sqrt b}

\displaystyle {\sqrt{a:b}}={\sqrt a:\sqrt b}

\displaystyle {\sqrt{72}}={\sqrt{36\cdot2}}={6\sqrt2}

Pierwiastek z sumy nie jest sumą pierwiastków: $\sqrt{9+16}=5$ , a nie 7.

Szacowanie pierwiastka

\displaystyle {7^2}={49}<{60}<{64}={8^2}

\displaystyle {7}<{\sqrt{60}}<{8}

Szukasz dwóch sąsiednich kwadratów, między którymi leży liczba pod pierwiastkiem.

Procenty, proporcje i stosunek

Procent liczby

\displaystyle {p\%}={\frac{p}{100}}

\displaystyle {15\%\text{ z }240}={\frac{15}{100}\cdot240}={36}

Procent zamieniasz na ułamek i mnożysz przez liczbę.

Jakim procentem jest część

\displaystyle {\frac{\text{część}}{\text{całość}}\cdot100\%}

\displaystyle {\frac{18}{60}\cdot100\%}={30\%}

Dzielisz część przez całość i mnożysz wynik przez 100%.

Całość z procentu

\displaystyle {\text{całość}}={\text{część}:\frac{p}{100}}

\displaystyle {36\%\text{ to }9}\ \Rightarrow\ {9:\frac{36}{100}}={25}

Gdy znasz część i jej procent, dzielisz część przez ten procent zapisany jako ułamek.

Podwyżka i obniżka

\displaystyle {\text{o }20\%\text{ taniej}}\ \Rightarrow\ {80\%\text{ ceny}}

\displaystyle {100}\xrightarrow{+20\%}{120}\xrightarrow{-20\%}{96}

Kolejną zmianę liczysz od nowej wartości, więc podwyżka i obniżka o ten sam procent się nie znoszą.

Proporcja

\displaystyle {4\text{ zeszyty}}\to{12\text{ zł}}

\displaystyle {7\text{ zeszytów}}\to {x}

\displaystyle {4x}={7\cdot12}\ \Rightarrow\ {x}={21}

Wielkości są wprost proporcjonalne, gdy obie rosną tyle samo razy, więc pary zapisujesz w tej samej kolejności i mnożysz na krzyż.

Podział w stosunku

\displaystyle {120\text{ w stosunku }2:3}

\displaystyle {120:(2+3)}={24}

\displaystyle {2\cdot24}={48}

\displaystyle {3\cdot24}={72}

Dodajesz liczby ze stosunku, liczysz jedną część i mnożysz ją przez liczbę części.

Wyrażenia i równania

Wyrażenia algebraiczne

\displaystyle {3x+2x}={5x}

\displaystyle {a(b+c)}={ab+ac}

\displaystyle {-(a-b)}={-a+b}

\displaystyle {(a+b)(c+d)}={ac+ad+bc+bd}

Liczbę ujemną podstawiasz w nawiasie: dla $x=-3$ masz $x^2=(-3)^2=9$ .

Równania i przekształcanie wzorów

\displaystyle \begin{aligned}3x-5&=16&&/+5\\3x&=21&&/:3\\x&=7\end{aligned}

\displaystyle {v}={\frac{s}{t}}\ \Rightarrow\ {s}={v\cdot t}

Po obu stronach wykonujesz to samo działanie, a mnożysz i dzielisz tylko przez liczbę różną od 0.

Kąty i własności figur

Kąty przyległe i wierzchołkowe

\displaystyle {\alpha+\beta}={180^\circ}

kąt prosty ma $90°$ , półpełny $180°$ , a pełny $360°$

Kąty przyległe dają razem kąt półpełny, a kąty wierzchołkowe są równe.

Proste równoległe i sieczna

kąty odpowiadające są równe
kąty naprzemianległe są równe
kąty jednostronne wewnętrzne dają razem $180°$

Suma kątów

\displaystyle {\text{trójkąt: }180^\circ}

\displaystyle {\text{czworokąt: }360^\circ}

\displaystyle {n\text{-kąt: }(n-2)\cdot180^\circ}

Przekątne z jednego wierzchołka dzielą $n$ -kąt na $n-2$ trójkąty.

Własności czworokątów

równoległobok: przeciwległe boki i kąty są równe, a przekątne dzielą się na połowy
prostokąt: przekątne są równe
romb: przekątne są prostopadłe i dzielą kąty na połowy
trapez: kąty przy jednym ramieniu dają razem $180°$

Trójkąt równoramienny i równoboczny

równoramienny: kąty przy podstawie są równe
równoboczny: każdy kąt ma $60°$

Nierówność trójkąta

\displaystyle {AB+BC}\ge {AC}

Równość zachodzi, gdy $B$ leży na odcinku $AC$ , więc trójkąt zbudujesz tylko wtedy, gdy suma dwóch krótszych boków jest większa od najdłuższego.

Cechy przystawania trójkątów

BBB: trzy pary równych boków
BKB: dwa boki i kąt między nimi
KBK: bok i dwa kąty przy nim

Trzy równe kąty nie wystarczą, bo trójkąty mogą mieć różne rozmiary.

Twierdzenie Pitagorasa

\displaystyle {a^2+b^2}={c^2}

Działa tylko w trójkącie prostokątnym, a $c$ to przeciwprostokątna naprzeciw kąta prostego.

Pola, obwody, koło i okrąg

Kwadrat i prostokąt

\displaystyle {P}={a^2},\quad

\displaystyle {O}={4a}

\displaystyle {P}={a\cdot b},\quad

\displaystyle {O}={2a+2b}

Pierwsza linijka to kwadrat o boku $a$ , druga prostokąt o bokach $a$ i $b$ .

Trójkąt

\displaystyle {P}={\frac{a\cdot h}{2}}

\displaystyle {O}={a+b+c}

Wysokość $h$ jest prostopadła do boku $a$ , na który ją opuszczasz.

Równoległobok

\displaystyle {P}={a\cdot h},\quad

\displaystyle {O}={2a+2b}

Wysokość opuszczasz prostopadle na bok $a$ albo na jego przedłużenie.

Romb

\displaystyle {P}={a\cdot h}={\frac{e\cdot f}{2}}

\displaystyle {O}={4a}

$e$ i $f$ to długości całych przekątnych.

Trapez

\displaystyle {P}={\frac{(a+b)\cdot h}{2}}

$a$ i $b$ to podstawy, czyli boki równoległe, a $h$ jest do nich prostopadła.

Figura złożona

Pole: dzielisz figurę na znane części i dodajesz ich pola albo odejmujesz brakujący kawałek od większej figury.
Obwód: dodajesz tylko odcinki, które leżą na zewnętrznym brzegu.

Koło i okrąg

\displaystyle {d}={2r}

\displaystyle {L}={2\pi r}

\displaystyle {P}={\pi r^2}

Promień z długości okręgu to $r=L:2\pi$ , więc przy $L=10\pi$ masz $r=5$ .

Promień, średnica i cięciwa

Średnica to najdłuższa cięciwa i ma długość $2r$ .
Prosta ze środka prostopadła do cięciwy dzieli ją na połowy.

Skróty z Pitagorasa

\displaystyle {d}={a\sqrt2}

\displaystyle {h}={\frac{a\sqrt3}{2}}

\displaystyle {P}={\frac{a^2\sqrt3}{4}}

To przekątna kwadratu oraz wysokość i pole trójkąta równobocznego, a każdy z tych wzorów wyprowadzisz z Pitagorasa.

Graniastosłupy i ostrosłupy

Sześcian

\displaystyle {V}={a^3},\quad

\displaystyle {P_c}={6a^2}

Sześcian ma 12 krawędzi długości $a$ , więc ich suma to $12a$ .

Prostopadłościan

\displaystyle {V}={a\cdot b\cdot c}

\displaystyle {P_c}={2ab+2ac+2bc}

Suma wszystkich krawędzi to $4a+4b+4c$ .

Graniastosłup prosty

\displaystyle {V}={P_p\cdot H}

\displaystyle {P_b}={O_p\cdot H}

\displaystyle {P_c}={2P_p+P_b}

Pole powierzchni to suma pól wszystkich ścian z siatki, a $H$ to wysokość bryły.

Ostrosłup

\displaystyle {V}={\frac13P_p\cdot H}

\displaystyle {P_c}={P_p+P_b}

$H$ to odcinek z wierzchołka prostopadły do podstawy, a nie krawędź boczna.

Wierzchołki, krawędzie i ściany

graniastosłup $n$ -kątny: $2n$ wierzchołków, $3n$ krawędzi, $n+2$ ścian
ostrosłup $n$ -kątny: $n+1$ wierzchołków, $2n$ krawędzi, $n+1$ ścian

Na przykład graniastosłup pięciokątny ma 10 wierzchołków, 15 krawędzi i 7 ścian.

Układ współrzędnych i oś liczbowa

Punkt w układzie współrzędnych

\displaystyle {A}={(x,\,y)}

Najpierw odczytujesz $x$ na osi poziomej, potem $y$ na pionowej, a ruch w lewo albo w dół odejmuje.

Środek odcinka

\displaystyle {x_S}={\frac{x_A+x_B}{2}},\quad

\displaystyle {y_S}={\frac{y_A+y_B}{2}}

\displaystyle {\frac{2+x_B}{2}}={5}\ \Rightarrow\ {x_B}={8}

Drugi koniec odcinka liczysz z tego samego wzoru, osobno dla $x$ i dla $y$ : przy $A=(2,-1)$ i $S=(5,3)$ wychodzi $B=(8,7)$ .

Długość odcinka

\displaystyle {|AB|}={|x_B-x_A|\ \text{(poziomy)}}

\displaystyle {|AB|^2}={3^2+4^2}\ \Rightarrow\ {|AB|}={5}

Ukośny odcinek to przeciwprostokątna trójkąta z kratek, więc liczysz go z Pitagorasa.

Odstępy na osi liczbowej

\displaystyle \begin{aligned}5x&=21-6\\x&=3\end{aligned}

Liczysz odstępy między kreskami, a nie same kreski, jeden odstęp oznaczasz przez $x$ i układasz równanie.

Zbiór liczb na osi

$x>1{,}5$ : pusta kropka i promień w prawo
$x\le-2$ : pełna kropka i promień w lewo

Pusta kropka znaczy, że liczba graniczna nie należy do zbioru, a pełna, że należy.

Jednostki, czas, skala i prędkość

Droga, prędkość i czas

\displaystyle {s}={v\cdot t}

\displaystyle {v}={\frac{s}{t}},\quad

\displaystyle {t}={\frac{s}{v}}

\displaystyle {72\,\tfrac{\text{km}}{\text{h}}}={\frac{72\,000\text{ m}}{3600\text{ s}}}={20\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}}

Przed podstawieniem ujednolicasz jednostki, a średnia prędkość to cała droga przez cały czas.

Czas i zegar

\displaystyle {1\text{ h}}={60\text{ min}}={3600\text{ s}}

\displaystyle {1\text{ doba}}={24\text{ h}}

$1{,}5$ h to 1 h 30 min, a nie 1 h 50 min.
Od 13:47 do 16:18: 13 min do 14:00, 2 h do 16:00 i 18 min, razem 2 h 31 min.

Kalendarz

30 dni mają kwiecień, czerwiec, wrzesień i listopad, luty ma 28 albo 29, a reszta 31.
Rok przestępny dzieli się przez 4, ale rok kończący stulecie musi dzielić się przez 400.
Dzień tygodnia przesuwa się o resztę z dzielenia liczby dni przez 7.

Długość i masa

\displaystyle {1\text{ km}}={1000\text{ m}}

\displaystyle {1\text{ m}}={10\text{ dm}}={100\text{ cm}}

\displaystyle {1\text{ t}}={1000\text{ kg}}

\displaystyle {1\text{ kg}}={100\text{ dag}}={1000\text{ g}}

1 cm to 10 mm, więc 1 m ma 1000 mm.

Jednostki pola

\displaystyle {1\text{ a}}={100\text{ m}^2}

\displaystyle {1\text{ ha}}={100\text{ a}}={10\,000\text{ m}^2}

Gdy boki są w różnych jednostkach, najpierw zamień długości, a dopiero potem licz pole, bo jednostek pola na egzaminie nie zamieniasz.

Objętość i pojemność

\displaystyle {1\text{ dm}^3}={1\text{ l}}={1000\text{ ml}}

\displaystyle {1\text{ cm}^3}={1\text{ ml}}

\displaystyle {1\text{ m}^3}={1000\text{ l}}

Przelicznik długości podnosisz do sześcianu: $1\text{ dm}^3=1000\text{ cm}^3$ .

Skala

\displaystyle {\text{skala }1:50\,000}

\displaystyle {3\text{ cm}\cdot50\,000}={150\,000\text{ cm}}={1{,}5\text{ km}}

W skali $1:n$ odległość w terenie jest $n$ razy większa niż na mapie.

Średnia, diagram kołowy i prawdopodobieństwo

Średnia arytmetyczna

\displaystyle {\text{średnia}}={\frac{\text{suma danych}}{\text{liczba danych}}}

\displaystyle {\text{suma}}={\text{średnia}}\cdot\allowbreak {\text{liczba danych}}

\displaystyle {\frac{2\cdot3+3\cdot5}{2+3}}={4{,}2}

Brakującą liczbę znajdziesz z sumy wszystkich danych, a powtarzającą się wartość mnożysz przez liczbę jej wystąpień.

Diagram kołowy

\displaystyle {100\%}={360^\circ}

\displaystyle {1\%}={3{,}6^\circ}

\displaystyle {25\%}={90^\circ}

Kąt wycinka liczysz tak samo jak procent z całości, bo całe koło to $360°$ .

Prawdopodobieństwo

\displaystyle {P}={\frac{\text{sprzyjające}}{\text{wszystkie}}}

\displaystyle {P(5\text{ lub }6)}={\frac26}={\frac13}

Wzór działa, gdy każdy wynik jest jednakowo możliwy, jak ścianki kostki, a prawdopodobieństwo zawsze leży między 0 a 1.

19 400+ uczniów

Popraw wynik z matematyki

Cały materiał na E8 w nagraniach i zadaniach. Średnia poprawa wyniku kursantów: +35%.

Zobacz kurs z matematyki

CKE

Oparte na arkuszach

15k+

Uczniów

4.9/5

Opinie

Ostatnie 14 dni

Popularne teraz

Wszystkie narzędzia

Premium E8

Kurs E8 z matematyki

Kompletne przygotowanie do egzaminu.

WZORYGEOMETRIAZADANIA

14 dni na zwrotBezpieczeństwo zakupu.
Gwarancja pierwszego wyboruDostajesz się albo zwracamy pieniądze.

Dołącz do kursu

Film do tej stronyWszystkie figury i wzory: kompletne przypomnienie173 tys. wyświetleń

Czarno na BiałymProwadzi Kuba · 350 tys. subskrybentówSubskrybuj

Obejrzyj film